La formazione delle immagini (parte 6)

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La rifrazione da una lente può essere determinata se i percorsi di alcuni dei raggi formanti l’immagine sono tracciati mediante semplici oggetti grafici, ovvero linee. Ora, per poter semplificare al massimo la rappresentazione grafica di una lente e dei raggi che la attraversano, bisogna identificare delle regole generiche che, applicandole, ci semplifichino la vita senza farci discostare troppo (approssimazione) dal risultato reale. Per una lente positiva, quattro sono le regole che generalmente possiamo prendere in considerazione, ovvero:

  • Un raggio passante per il centro di una lente sottile non è deviato
  • Un raggio che colpisce la lente parallelamente all’asse ottico, passa attraverso un punto focale della lente sul lato opposto della stessa (dopo aver subito la rifrazione all’interno della lente stessa)
  • Un raggio passante per il punto focale di una lente, dopo la rifrazione all’interno della lente stessa, emerge dalla lente parallelamente all’asse ottico.
  • Un raggio meridionale (ovvero un raggio posizionato su di un piano contenente l’asse ottico) entrato nella piano nodale anteriore ad un’altezza X rispetto all’asse ottico, emerge dal piano nodale posteriore alla stessa altezza X rispetto all’asse ottico, sullo stesso lato e non deviato.

Queste regole (tranne l’ultima) sono illustrate nella Figure qui di seguito:

formazione delle immagini
Esempio di costruzione immagine con una lente positiva utilizzando le tre regole sopra riportate
formazione delle immagini
Esempio di costruzione immagine con specchio concavo. L’immagine si forma a sinistra dello specchio stesso, tra il soggetto e lo specchio.
formazione delle immagini
esempio di costruzione immagine con uno specchio convesso
formazione delle immagini
esempio di costruzione immagine per una lente negativa
formazione delle immagini
Nell’ordine, da sinistra a destra: Un raggio che viaggia parallelamente all’asse ottico di uno specchio convesso, dopo la riflessione appare come se fosse originato dal fuoco dello specchio. Un raggio passante per il punto focale di una lente positiva, dopo la rifrazione emerge dalla lente parallelo all’asse ottico.  Un raggio diretto verso il centro di curvatura dello specchio convesso è riflesso su se stesso
formazione delle immagini
Nell’ordine, da sinistra a destra: Un raggio passante per il centro di uno specchio concavo, dopo la riflessione procede parallelamente all’asse ottico. Un raggio che viaggia parallelamente all’asse ottico di uno specchio concavo, dopo riflessione passa attraverso il centro dello specchio stesso Un raggio passante per il centro di curvatura di uno specchio concavo è riflesso su se stesso
formazione delle immagini
Nell’ordine, da sinistra a destra: Un raggio passante per il centro di una lente positiva non è deviato. Un raggio che viaggia parallelamente all’asse ottico di una lente positiva, dopo la rifrazione passa attraverso il punto focale della lente. Un raggio passante per il punto focale diuna lente positiva, dopo la rifrazione emerge dalla lente parallelo all’asse ottico

L’equazione della lente coniugata

Una relazione può essere ricavato tra le distanze coniugate e la lunghezza focale di una lente. Facendo riferimento alla figura qui di seguito, una lente positiva della lunghezza focale f con una distanza dell’oggetto pari ad u forma un’immagine alla distanza v.

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La formazione delle immagini

Da triangoli simili ABC e XYC, abbiamo: AB/XY = BC/YC = u/v. E sempre osservando la figura, possiamo ricavare il valore di BF1 : BF1 = uf. Analizzando inoltre i triangoli simili ABF e QCF abbiamo che: BF1/CF1 = AB/QC = AB/XY

Sostituendo le prime due equazioni nella terza, otteniamo

formula 1

risistemando la formula e dividendo per uf, otteniamo la formula della lente coniugata:

formula 2

Questa equazione può essere applicata alle lenti spesse se u e v sono misurate dai punti cardinali appropriati. L’equazione non è al contrario molto adatta  per l’uso fotografico pratico in quanto non tiene in considerazione le dimensioni dell’oggetto AB o dell’immagine XY (normalmente una delle due dimensioni è nota).

Definendo l’ingrandimento (m) come XY/AB = v/u e sostituendo nell’equazione  della lente coniugata quest’ultima, si ottiene (ri-arrangiando la formula):

formula 3

e anche

v = f ( 1 + m )

A causa della relazione coniugata tra u e v (come mostrato nella formula di sopra), tali distanze sono spesso chiamate la distanza dell’oggetto coniugato e distanza dell’immagine coniugata.

Da notare inoltre che per la maggior parte degli scopi fotografici elementari è possibile applicare una convenzione per la quale le distanze tra gli oggetti reali e le immagini reali sono considerate come positive. Tutte le distanze tra gli oggetti reali e le immagini virtuali sono considerate come negative. L’ingrandimento di un’immagine virtuale è anch’essa negativa.

Di seguito, infine potete trovare un piccolo compendio delle formule relative ai coniugati in alcuni casi tipici (sempre ovviamente semplificati).

Lente Semplice

La formazione delle immagini

Nel caso di lente semplice valgono le seguenti formule:

1 / u + 1 / v = 1 / f e anche:  h2 / h1 = I / O =  v / u = m

ricalcolando per u e v otteniamo:

formula 4

e

formla 5

nel caso u fosse pari ad infinito o nel caso in cui u fosse molto più grande di v, possiamo considerare v = f e quindi m = f / u. Infine, ricordo che x*y=f*f

Lenti sottili in contatto

La formazione delle immagininel caso di due lenti sottile in contatto, abbiamo le seguenti formule (dove P è ial potenza espressa in diottrie):

1 / f =1 / fA + 1 / fB oppure 1 / f = P = Pa + Pb

Lenti sottili separate
nel caso le lenti sottili fossero separate da una leggera distanza, abbiamo

formla 6

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Fondatore di Fotografare in Digitale, ho sempre amato il mondo della fotografia e la possibilità di catturare un momento, un attimo, una sensazione tramite un semplice scatto. Nato come fotografo per caso quando misi le mani sulla mia prima Nikon D1, ho ampliato le mie conoscenze ed esperienze fotografiche, decidendo quindi di condividerle con chiunque fosse interessato alla fotografia. Sono un fotografo amatoriale di buon livello e continuo imperterrito a girare per le città con la fedele Nikon (ora una D800) appesa al collo.